Fragment jak całość — dlaczego fizyków fascynują fraktale

Jednym ze sławniejszych fraktali jest zbiór Mandelbrota. Tu widać jego fragment, gdzie zauważalne jest samopodobieństwo w tym obiekcie. Autor: Wolfgang Beyer z wykorzystaniem programu program Ultra Fractal 3. Wikipedia

Fraktal to obiekt, którego fragment w powiększeniu wygląda podobnie jak całość. Strukturę fraktali odkryto już w białkach, graniach gór, sygnale z giełdy, plamach słonecznych czy nawet obrazach Jacksona Pollocka. O tym, czego szukają we fraktalach fizycy, mówi prof. Paweł Oświęcimka.

«Kształt drzewa może się wydawać całkiem przypadkowy. Jeśli jednak przyjrzę się jego fragmentowi — np. gałęzi, zobaczę, że przypomina całe drzewo. To samo w jeszcze większym powiększeniu: maleńka gałązka na tej dużej gałęzi też wygląda jak drzewo. Mimo pozornej przypadkowości, jest tu więc jakiś porządek, hierarchia. A ma to związek z tym, że pojawia się tu struktura fraktalna» — opowiada w rozmowie z PAP dr hab. Paweł Oświęcimka, profesor z Instytutu Fizyki Jądrowej PAN w Krakowie.

Fraktalne trawy, w ktorych każda gałązka wygląda jak pomniejszona całość. Autor: Solkoll, Wikipedia
Fraktalne trawy, w których każda gałązka wygląda jak pomniejszona całość. Autor: Solkoll, Wikipedia

 

Naukowiec wyjaśnia, że fraktale to znane z matematyki obiekty samopodobne — ich fragmenty przypominają całość. Fraktalność można odnaleźć w strukturze chmur, płatków śniegu, fiordów, kalafiora czy natężenia przepływu rzeki (ile wody przepływa przez daną objętość w określonym czasie), w strukturze białek czy w notowaniach giełdowych. «Istotą fraktalności jest poszarpanie. Wiele obiektów, które np. mają poszarpane brzegi, ma strukturę prostego fraktala» — opowiada fizyk.

Fraktale znalazły już zastosowanie m.in. w badaniach rytmu bicia serca. «Tam, gdzie struktura uderzeń serca miała postać dobrze rozwiniętej fraktalności — serce było zwykle zdrowe. A w przypadku chorób serca — struktura uderzeń była zredukowana» — mówi naukowiec.

Badania nad fraktalami znajdują też zastosowanie w sztuce — m.in. w grafice komputerowej (np. geometrię fraktalną wykorzystano do generowania krajobrazów do takich filmów jak Star Trek czy Star Wars). Ale odkryto też, że fraktalność jest wkomponowana np. w obrazy malarza Jacksona Pollocka, którego technika polegała m.in. na chlapaniu farbą. «Jego obrazy zbadano pod kątem samopodobieństwa. Okazało się, że fragment takiego dzieła przypomina mniej więcej całość. Co więcej, okazało się, że im starszy był Jackson Pollock, tym fraktale na jego obrazach były bardziej gęste — bardziej wypełniały płótno» — wskazuje Paweł Oświęcimka.

Obraz Jacksona Pollocka "Bluepoles". Źródło: Wikipedia
Obraz Jacksona Pollocka «Bluepoles». Badania pokazują, że w obrazach tego artysty obecna jest fraktalność źródło: Wikipedia

 

Wychwycenie w jakimś zjawisku natury fraktalnej może ułatwić badanie tego zjawiska. «Kiedy mam skomplikowany układ, który składa się z wielu elementów, trudno każdy element opisać z osobna. Ale kiedy obiekt fraktalny opiszę w małej części, mniej więcej wiem, jak się będzie zachowywał jako całość. To ułatwia obliczenia» — tłumaczy Paweł Oświęcimka.

Zespół z IFJ PAN próbuje identyfikować fraktale m.in. w sygnałach przyrodniczych. «Kiedy pokażemy, jak zbudowany jest dany sygnał, mamy większe szanse pokazać prawo, które za tą złożonością stoi. A wtedy jesteśmy w stanie lepiej dany układ opisać» — mówi naukowiec.

Krakowscy fizycy pokazali już w swoich pracach, że fraktale obecne są w graniach górdługościach kolejnych zdań w literaturze  czy w notowaniach giełdowych.

Badania fizyków z Krakowa pokazały też, że zmienność liczby plam słonecznych, będąca odzwierciedleniem aktywności Słońca, ma budowę multifraktalną, a zatem taką która jest splotem wielu fraktali. «Widać niejednorodność w budowie tego fraktala. Pewne fragmenty mają trochę bardziej złożoną strukturę niż inne» — mówi fizyk. Analiza tych fraktali zasugerowała, że w procesie powstawania plam słonecznych biorą udział dwa różne mechanizmy.

Jeśli uda się przeprowadzić «inżynierię odwrotną» danego multifraktala i zaproponować układ, który go wyprodukuje, będzie to ogromny krok, by zrozumieć różne procesy, jakie w przyrodzie mają miejsce.

Naukowiec opowiada, że takim multifraktalem jest np. jeden z najbardziej złożonych sygnałów, jaki znamy — sygnał pochodzący z notowań giełdowych. «Sygnał giełdowy na pierwszy rzut oka wydaje się być przypadkowy. Ale my potrafimy wskazać w nim zależności. Pokazujemy, że ma tam miejsce splątanie wielu fraktali» — mówi.

Pytany, czy jeśli zrozumie się te giełdowe fraktale, będzie można przewidywać notowania, fizyk odpowiada, że według niego, do pewnego stopnia, owszem. «Jeśli odkryjemy zależności w fraktalach giełdowych, można ich użyć, by zajrzeć w przyszłość» — uważa. Dodaje, że istnieją już bazujące na fraktalach metody, które pozwalają oszacować ryzyko na giełdzie. «One nie są tak powszechne, bo wymagają zaawansowanego aparatu matematycznego. Komercyjne ich wdrożenie to proces długotrwały, ale możliwy do zrealizowania» — mówi.

Fizyk tłumaczy, że wielkim wyzwaniem w analizie multifraktali jest opisanie ich poszczególnych składowych. Potrzebne są zaawansowane metody, by fraktale i ich «splątanie» analizować. «Nadal nie wiemy, jak natura składa pojedyncze fraktale w struktury multifraktalne. To musi być świetnie zorganizowane. My, kiedy próbujemy składać różne fraktale ze sobą, możemy je tylko popsuć. A naturze udaje się zachować w nich hierarchię» — uważa.

Zespół z IFJ PAN pracuje m.in. nad nowymi metodami, które mogłyby pomóc w identyfikacji struktur fraktalnych. Rozmówca PAP wyjaśnia, że jego grupa zaproponowała jedną z najlepszych na świecie metod analizy struktur fraktalnych. «Gdybym chciał opisać układ, nie wystarczy, że opiszę pojedyncze elementy układu. Powinienem też opisać zależności między nimi. A bywa, że nawet te zależności mają cechy fraktali. I my to w naszej pracy pokazaliśmy» — podsumowuje.